Durant mes premières années de lycée, je redoutais les cours de mathématiques. Je m’en suis sorti – mais à peine. Les mathématiques semblaient être un « jeu » inutile avec de nombreuses règles. Je ne voyais aucune utilité à faire des choses comme factoriser un trinôme ou mémoriser la loi des cosinus. J'ai échoué en algèbre en 9e année.
Les choses ont commencé à changer en onzième année. J'ai eu la chance d'avoir un professeur qui a commencé à montrer comment appliquer les mathématiques à quelques problèmes simples dans l’univers « réel », plutôt que dans le « pays mathématique ». Des tâches simples comme tracer un angle précis de 90º à l'aide de mesures 3/4/5 ou 5/12/13, ou calculer la quantité de béton nécessaire pour remplir des espaces de forme étrange. J'ai fini par suivre des cours de calcul lors de ma dernière année au lycée, suivis de trois années de calcul à l'université. J'ai bien réussi ces années-là, mais j'admets qu'une grande partie de ce que je fais en tant qu'ingénieur ne nécessite pas de mathématiques de haut niveau.
Maintenant je comprends
Au fil des années, j'en suis venu à apprécier les mathématiques comme un « outil » permettant de prédire le comportement du monde physique et de mesurer ce comportement. Cela implique parfois des mathématiques complexes, mais souvent des mathématiques très simples peuvent être utilisées dans la conception ou les mesures de performances des systèmes CVC. Un exemple est le concept simple d'un rapportoù une quantité physique est divisée par une autre.
La plupart des ratios utilisés dans l’industrie CVC ne sont qu’une quantité de « production souhaitable » divisée par la quantité « d’entrée nécessaire ». Un exemple est le coefficient de performance (COP) d’une pompe à chaleur. La quantité de puissance souhaitable est de Btu/h de puissance calorifique. La quantité d’entrée nécessaire est la puissance électrique d’entrée nécessaire au fonctionnement de la pompe à chaleur. Ce dernier est généralement mesuré en watts ou en kilowatts.
Prenons l’exemple d’une thermopompe qui fournit de la chaleur à un débit de 48 000 Btu/h. Il s'agit de la quantité de sortie souhaitée. Supposons que la quantité d’entrée nécessaire soit de 5,5 kilowatts d’énergie électrique pour faire fonctionner la pompe à chaleur. Si nous mettons ces valeurs dans un ratio pour le COP, nous obtenons :
Formule 1 :
Ceux qui sont familiers avec les pompes à chaleur reconnaissent que ce chiffre est très différent des listes de COP dans les tableaux de classification des pompes à chaleur, etc. La raison en est les unités. Nous y reviendrons dans une minute, mais avant cela, interprétons les unités qui suivent le nombre 8727 dans la formule 1. Elles signifient que – dans ces conditions de fonctionnement spécifiques – la pompe à chaleur produit 8727 Btu/h de puissance calorifique par kilowatt de puissance électrique absorbée. Bien que cette interprétation soit « valide », elle n’est certainement pas habituelle. Pour obtenir ce COP sous sa forme habituelle, il est nécessaire de convertir les unités de kW en bas du rapport en Btu/h. Ceci est possible car le kW et le Btu/h sont des unités valides pour la même quantité physique : la puissance. Voici la conversion :
Formule 2 :
Le nombre et les unités en rouge sont un facteur de conversion qui transforme les kW en Btu/h. Ce facteur de conversion signifie simplement que 3 413 Btu/h équivaut à 1 kilowatt de puissance.
Au fil des années, j'en suis venu à apprécier les mathématiques comme un « outil » permettant de prédire le comportement du monde physique et de mesurer ce comportement. Cela implique parfois des mathématiques complexes, mais souvent des mathématiques très simples peuvent être utilisées dans la conception ou les mesures de performances des systèmes CVC.
Le traitement des trois nombres de la formule 2 à l'aide d'une calculatrice donne une valeur de 2,56. Tout aussi important, les unités de la formule 2 s'annulent toutes algébriquement (c'est-à-dire que les unités Btu/h en haut du rapport s'annulent avec les unités Btu/h en bas du rapport. Idem pour les unités de kW). Cela rend le nombre 2,56 « sans unité ». En termes simples, le COP d'une pompe à chaleur, exprimé sous sa forme habituelle, donne toujours un nombre sans unité. Cela signifie que le numéro est valide quel que soit le système d'unités utilisé pour le générer. Une pompe à chaleur fonctionnant avec un COP de 2,56 signifie exactement la même chose aux États-Unis, au Canada, au Royaume-Uni, en Argentine ou ailleurs. Lorsqu'il est exprimé sous une forme habituelle (par exemple, où toutes les unités en haut et en bas du ratio s'annulent), il n'existe pas de valeur « métrique » ou « impériale » du COP.
Est-ce bon ?
Lorsqu'un rapport est défini comme un résultat souhaité divisé par l'entrée nécessaire, plus le nombre obtenu est élevé (par exemple, après avoir divisé le nombre supérieur par le nombre inférieur), plus l'effet souhaité est « meilleur ». Une pompe à chaleur fonctionnant avec un COP de 3,0 est plus performante – du point de vue de l'efficacité – qu'une pompe à chaleur avec un COP de 2,56. Étant donné que la plupart des ratios utilisés dans les systèmes CVC sont définis comme une sortie souhaitable divisée par une entrée nécessaire, des nombres élevés valent mieux que des nombres inférieurs. Des exemples courants de tels ratios dans l’industrie CVC sont EER, SEER, COP, HSPF, l’efficacité de la chaudière et l’efficacité de la distribution. Ce dernier est particulièrement pertinent pour les systèmes hydroniques et est défini comme suit :
Formule 3 :
Où:
ed = efficacité de distribution
qd = débit de chaleur du système de distribution à la charge de conception (Btu/h)
wd = puissance nécessaire pour faire fonctionner le système de distribution à la charge nominale (watts)
Considérons un système de distribution à air pulsé dans lequel le ventilateur du système de traitement de l'air consomme 550 watts, pour fournir une puissance thermique de 60 000 Btu/h. L’efficacité de distribution de ce système serait :
Formule 4 :
Une efficacité de distribution de 109 Btu/h/watt signifie que ce système de distribution particulier peut fournir 109 Btu/h par watt d’entrée électrique pour faire fonctionner le système de distribution.
L’efficacité de la distribution n’a rien à voir avec le type de combustible utilisé ou avec ce qui convertit ce combustible en chaleur. Cela concerne uniquement la capacité du système de distribution à déplacer la chaleur de l’endroit où elle est produite jusqu’à l’endroit où elle est nécessaire dans le bâtiment.
Pour se faire une opinion sur l'efficacité de cette distribution, il est nécessaire de pouvoir la comparer. Que diriez-vous d'un système hydronique (un vrai) qui fournit 35 000 Btu/h en utilisant seulement 44 watts de puissance électrique absorbée par son circulateur. Son efficacité de distribution serait :
Formule 5 :
Le système hydronique fournit 796 Btu/h par watt d’entrée électrique. C'est plus de 7 fois supérieur à l'efficacité de distribution de l'exemple à air pulsé. Le simple rapport utilisé pour définir l’efficacité de la distribution révèle un avantage majeur de la distribution thermique par hydronique par rapport à la distribution par air.
Effets relatifs
D'autres ratios intéressants dans la conception de systèmes hydroniques comparent l'importance de deux entités qui affectent la même situation physique. Un bon exemple est quelque chose appelé nombre de Reynolds, qui est défini comme suit :
Formule 6 :
Où:
Re# = nombre de Reynolds (sans unité)
v = vitesse du fluide (pieds/sec)
d = diamètre du tuyau (pi)
D = densité du fluide (lb/pi3)
u = viscosité dynamique du fluide (lb/ft/sec)
Vous vous demandez peut-être : pourquoi quelqu’un créerait-il une formule qui combine toutes ces différentes quantités physiques ? La réponse repose encore une fois sur le concept de ratio. Le nombre de Reynolds représente le rapport des forces d'inertie agissant sur un fluide divisées par les forces visqueuses agissant sur le fluide. Lorsque les forces initiales sont dominantes, l’écoulement du fluide est turbulent. Cette condition est souhaitable pour un bon transfert de chaleur par convection, par exemple entre le fluide et les surfaces internes d'un échangeur de chaleur. Des expériences réalisées il y a longtemps ont montré qu'un écoulement turbulent se produit lorsque le nombre de Reynolds est supérieur à 4 000. Lorsque les forces visqueuses dominent, l'écoulement est laminaire, ce qui n'est pas propice à un bon transfert de chaleur. Cela se produit lorsque le nombre de Reynolds est inférieur à 2 300.
Vous vous demandez probablement ce qui arrive au flux lorsque le nombre de Reynolds est compris entre 2 300 et 4 000. C'est une région d'instabilité. L'écoulement peut être turbulent ou laminaire, et il peut varier entre ces deux conditions. C'est généralement une condition à éviter lorsque le transfert de chaleur est important. La façon de l'éviter est de calculer le nombre de Reynolds qui se produirait dans une conception proposée et de s'assurer qu'il est bien supérieur à 4 000.
Les quantités nécessaires pour calculer le nombre de Reynolds dans la formule 6 sont données en unités spécifiques. Lorsque ces unités sont introduites dans la formule, elles s’annulent algébriquement. C'est pourquoi le nombre de Reynolds obtenu est « sans unité ». C'est juste un nombre sans unité. Si, pour une raison quelconque, les quantités utilisées pour calculer le nombre de Reynolds ne permettent pas à toutes les unités de s'annuler algébriquement, le calcul résultant est invalide. C'est quelque chose qui doit toujours être vérifié lors du calcul d'un nombre de Reynolds.
Les définitions sont importantes
Il existe des centaines d’autres ratios qui pourraient être discutés dans le contexte des systèmes CVC. De nouveaux apparaissent de temps en temps, souvent définis sur la base de travaux du Département américain de l'énergie, comme un moyen d'exprimer l'efficacité d'un appareil qui utilise de l'énergie pour produire un effet escompté. Dans la plupart des cas, ces ratios découlent du concept fondamental d’un résultat souhaité divisé par l’intrant nécessaire, mais avec des définitions très spécifiques de ce qui constitue le résultat souhaité et l’intrant nécessaire.
Il est important de savoir exactement comment est défini un ratio qui représente les performances d’un appareil. COP en est un bon exemple.
Considérons qu’une pompe à chaleur géothermique eau-eau nécessite un débit à travers son évaporateur et son condenseur à chaque fois qu’elle fonctionne. Dans presque tous les cas, ce flux est créé par des circulateurs, qui nécessitent de l'énergie électrique pour fonctionner.
Alors, le COP d’une pompe à chaleur devrait-il inclure la puissance absorbée pour faire fonctionner les circulateurs ? Cela dépend de la façon dont le COP est défini. Si la définition inclut uniquement l’alimentation de la pompe à chaleur et non celle des appareils externes nécessaires à son fonctionnement, alors non, la puissance du circulateur n’est pas incluse dans l’entrée nécessaire. Cela peut être le cas lorsque la pompe à chaleur fonctionne sur un banc d'essai dans un laboratoire. Cependant, une fois la thermopompe installée, celui qui paie pour son fonctionnement doit également payer pour faire fonctionner les circulateurs requis. De leur point de vue, le COP « net » qui décrit le mieux le véritable coût de fonctionnement de la pompe à chaleur inclurait le coût de fonctionnement de la pompe à chaleur et des circulateurs. Ainsi, le COP « net » de la pompe à chaleur pourrait être défini comme :
Formule 7 :
Où:
FLICfilet = COP net défini de la pompe à chaleur et des circulateurs combinés (nombre d'unités)
q = puissance calorifique de la pompe à chaleur (Btu/h)
wHP = puissance absorbée pour faire fonctionner la pompe à chaleur (watts)
wcirc = puissance absorbée pour faire fonctionner les circulateurs nécessaires à la pompe à chaleur (watts)
Voici un exemple. Supposons que la même pompe à chaleur eau-eau ait décrit au début une production de 48 000 Btu/h tout en consommant 5,5 KW d’énergie électrique. Le circulateur à boucle terrestre associé à la pompe à chaleur nécessite 350 watts, et le circulateur de distribution évacuant la chaleur de la pompe à chaleur nécessite 200 watts. Le COP « net » du fonctionnement de cette pompe à chaleur serait :
Formule 8 :
La puissance absorbée par la pompe à chaleur (5,5 kW) a été convertie en 5 500 watts, elle était donc dans les mêmes unités que la puissance requise pour les circulateurs. Le facteur de conversion indiqué en rouge dans la formule 8 change les watts en Btu/h. Cela permet aux unités de Btu/h de s'annuler entre le haut et le bas du rapport.
Dans cet exemple, le COP « net » de 2,32 est environ 10 % inférieur au COP de 2,56 associé à la seule pompe à chaleur.
J'aime le concept et la définition du COP net car il reflète le véritable coût d'exploitation de la pompe à chaleur installée, plutôt que le COP de la pompe à chaleur combiné avec l'implication que les flux nécessaires sont créés gratuitement. Ce qu'il faut retenir : lorsque vous comparez les COP ou toute autre mesure de performance, assurez-vous de comprendre exactement comment cette mesure a été définie. Demandez le vieil adage : ne comparez pas des pommes avec des oranges.
Beaucoup d’entre nous dans l’industrie CVC utilisent des ratios quotidiennement. Peut-être sans trop y réfléchir. Il s'agit de l'un des concepts mathématiques les plus simples, mais ils nous donnent un aperçu et la possibilité de comparer les options de conception et les performances des équipements. Ils constituent également un moyen de communiquer le mérite relatif des options concurrentes.
Si seulement j'avais vu tout cela revenir en 9e année…